Just another wordpress site

Latest

Relasi m-cycle dengan produk komposisi i, jika m dan i relatif prima

Ini merupakan solusi dari soal 11 dari bab 1.3 Abstract Algebra karangan Dummit dan Foote edisi ke-3.

” Let \sigma be the m-cycle (1 \hspace{3 pt} 2 \hspace{3 pt} ... \hspace{2pt} m ). Show that \sigma^{i} is also an m-cycle if and only if i is relatively prime to m

1. Dasar Teori

Definisikan sebuah grup simetri untuk set \Omega sebagai (S_{\Omega}, \circ), dengan S_{\Omega} adalah set dari kumpulan set permutasi \sigma dari \Omega. Syarat asosiatif terpenuhi dengan sifat asosiatif fungsi komposisi. Jika kita definisikan fungsi bijektif \sigma : \Omega \rightarrow \Omega , maka identitas didefinisikan sebagai \sigma(1) yang memetakan setiap i \in \Omega ke i . Begitu juga fungsi invers \sigma^{-1} : \Omega \rightarrow \Omega , sehingga \sigma \circ \sigma^{-1} = \sigma(1) . Untuk kasus spesial dimana \Omega =(1, 2, ..., n) maka S_{n} dinyatakan sebagai grup simetri derajat n dengan card(S_{n})=n!. (dikutip dari Abstract Algebra 3rd edition Dummit dan Foote). Kemudian setiap permutasi \sigma bisa didefinisikan sebagai sebuah cycle.

2. Solusi

Pada dasarnya setiap permutasi di grup simetrik \Omega=(1, 2, ... , m) dapat didefinisikan sebagai
\sigma^{i}=(1 \hspace {3pt} 1+i \hspace {3pt} ... \hspace {3pt}1+(m-1)i)(2 \hspace {3pt} ... \hspace {3pt} 2+(m-1)i) ... (\lceil m/2 \rceil \hspace {3pt} ... \hspace{3pt} \lceil m/2 \rceil +(m-1)i),dengan tentu saja elemen i+p digantikan dengan q \equiv (i+p)mod(m) jika i+p > m . Jika \sigma^{i} hanya terdiri dari satu m-cycle yaitu \sigma^{i} = (1 \hspace{3 pt} 1+i \hspace{3 pt} ... 1+(m-1)) maka jika t \in (1 \hspace{3 pt} 2 \hspace{3 pt} ... m) setiap t adalah representasi dari 1 di kelas modulo \mathbb{Z}/i\mathbb{Z} dengan card(\bar{1}) = m untuk 0 \leq n \leq m-1. Implikasinya adalah :
(1+ni)mod(m) \neq 1+n'm, untuk 0 < n \leq m-1. Artinya , tidak ada anggota \bar{1} dalam \mathbb{Z}/i\mathbb{Z} yang sama dengan anggota \bar{1} dalam \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, kecuali 1. Melanjutkan persamaan (1+ni)mod(m) \neq 1+n'm, didapat bahwa
ni \neq (n'+k)m atau ni \neq n'm untuk 0 <n \leq m-1. Persamaan tersebut benar jika kpk(i,m) =i.m atau (i,m)=1 , sehingga ni = n'm, ketika n \geq m. Kelipatan persekutuan terkecil didapat sesuai dengan teori yang mengatakan bahwa jika a=p_{1}^{\alpha_{1}}. p_{2}^{\alpha_{2}}. \hspace {3 pt } ... \hspace {3 pt} .p_{m}^{\alpha_{m}} dan b=p_{1}^{\beta_{1}}. p_{2}^{\beta_{2}}. \hspace {3 pt } ... \hspace {3 pt} .p_{m}^{\beta_{m}} , maka kpk(a,b) =   p_{1}^{max(\alpha_{1}, \beta_{1})}. p_{2}^{max(\alpha_{2}, \beta_{2})}. \hspace {3 pt } ... \hspace {3 pt} .p_{m}^{max(\alpha_{m}, \beta_{m})} \blacksquare

Advertisements

Menyulitkan yang Tidak Sulit

x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=p
Definisikan :
\Gamma = \lbrace x_{1},x_{2},...,x_{n} \rbrace , \forall x_{i} \in \mathbb{Z}^{+}
\Gamma^{\oplus} = \lbrace 1,2,3,...,{n} \rbrace \subset \mathbb{Z}^{+}
\Gamma^{\oplus} \xrightarrow{1:1}  \Gamma (korepondensi satu satu) , sehingga ada komponen maksimum/minimum dari \Gamma .
\exists \mathfrak{X} \in \Gamma dimana \mathfrak{X} < \forall x \in \Gamma
\exists \mathfrak{X}^{\dagger} \in \Gamma dimana \mathfrak{X}^{\dagger} > \forall x \in \Gamma
maka
\mathfrak{X} < \frac{p}{n} dan {} \mathfrak{X}^{\dagger} > \frac{p}{n}

Bukti :
Jika \mathfrak{X} > \frac{p}{n} maka \forall x \in \Gamma = \frac{p}{n} + \delta_{i}, \delta_{i} > 1
Konsekuensinya \sum\limits_{i=0}^{n} x_{i} = p +\sum\limits_{i=0}^{n} \delta_{i} > p (Kontradiksi)
Jika \mathfrak{X}^{\dagger} < \frac{p}{n} maka \forall x \in \Gamma = \frac{p}{n} - \delta_{i}^{\dagger}, \delta_{i}^{\dagger} > 1
Konsekuensinya \sum\limits_{i=0}^{n} x_{i} = p - \sum\limits_{i=0}^{n} \delta_{i}^{\dagger} < p (Kontradiksi)

Komentar (setelah satu tahun) :
Setelah satu tahun, saya makin sadar betapa lucunya tulisan ini.
Pertama , mengenai korespondensi satu-satu . Tidak hanya simbol yang aneh dan implikasi yang tidak jelas , saya juga menempatkan indeks yang salah untuk set \{1,2,3,...,n\}, yang seharusnya \{1,2,3,...,m\}. Dengan penggunaan indeks m, mungkin lebih dimengerti bahwa yang saya maksud adalah x_{i} \neq x_{j} untuk semua i,j.
Kedua, mengenai limitasi teori kecil ini. Mengapa harus \mathbb{Z}^{+} ? , mengapa tidak \mathbb{C} ?
Ketiga, kita dapat menggunakan teknik yang lebih sederhana untuk membuktikan teori kecil ini .
Misalkan x_{i} adalah anggota minimum dari set \{x_{1},x_{2},...,x_{n}\} dengan x_{j} \in \mathbb{C} untuk semua j dan x_{i} \neq x_{j} untuk semua i,j , maka p=x_{1}+x_{2}+...+x_{n}>n.x_{i} . Teknik serupa berlaku juga untuk maksimum. Setidaknya point ke tiga ini, mendukung judul tulisan ini (walaupun maksud awal dari judul tulisan ini adalah mengenai buruknya pengunaan simbol berlebihan dalam matematika )

Orang Hidup yang Sudah Mati

Bagi Paul Erdős, seseorang yang sudah berhenti mengerjakan matematika sudah mati. Aku menyetujui hal itu, tapi umum takkan begitu saja menerimanya. Disinilah perlunya generalisasi, matematika sebagai hobi, sehingga seseorang yang sudah berhenti melakukan hobinya sudah mati. Badannya hidup tapi jiwanya sebenarnya jiwanya sudah mati ditelan bumi.Aku kadang berpikir,sebenarnya siapa yang lebih bermain raut muka, orang yang bertanya “rencana kuliah dimana ?” kepadaku, atau aku yang menjawab “FMIPA” dengan cepat namun ragu , mengantisipasi raut muka aneh yang disembunyikan penanya. Berikut adalah alasan raut muka tersebut :

1. Skill/kemampuan yang dimiliki tidak berguna dalam kehidupan sehari-hari
2. Penghasilan rendah
3. Prospek kerja buram (lawan kata cerah)
4. Ilmu murni terlalu mudah
5. Sangat sedikit yang berhasil

Walaupun hampir tidak mungkin, saya akan mencoba memaparkan argumen berikut se-objektif mungkin.Berurut.
Begini, fmipa adalah fakultas ilmu murni. Sesuai namanya, mahasiswa prodi ini akan mempelajari ilmu alam pada level fundamental/murni/teoritis dimana mahasiswa dituntut untuk bertanya bagaimana? , mengapa ? bukan apa ? atau untuk apa?. Mereka mengabdikan kehidupan mereka pada ilmu , mencoba memecahkan misteri alam. Eksentrik yang melekat bagi orang-orang seperti ini hanyalah interpretasi berlebihan publik terhadap gairah dan kecintaan mereka terhadap sains.Anggap saja mereka pemimpi, karena anda juga hanya khayalan.

(1)Menurutku, fisikawan seperti pemasok/pembuat senjata kepada tentara yang akan berperang. Orang dibalik layar, namun sebenarnya pembunuh sejati. Ada kalanya pekerjaan lebih efektif jika dibagi, tentara tidak sibuk memikirkan senjata apa yang akan dibuatnya. Ia cukup tahu senjata sudah ada ditangannya, ia tahu cara standar menggunakannya, medan perang menuntutnya lebih, improvisasi (pembuat senjata tidak membuat gagang depan ak-47 untuk menghantam kepala musuh). Sedangkan pembuat tidak perlu ikut berperang, ikut cukup memastikan senjata nya bekerja.

(2)Judul terpenuhi. Aku tidak mau jadi hamba uang. Kita hidup di sebuah planet diantara sekian banyak planet, di sebuah galaksi diantara sekian banyak galaksi. Ya, anda dan uang anda berarti. Sebagaimana kuatnya pun seorang manusia fana berusaha meraih kegilaan berupa kesuksesan, laut akan menderita lemparan sebiji pasir, hilang sekejap dalam kehampaan, ironis sebelum memberikan pengaruh.

(3)Buatlah hobimu sebagai pekerjaanmu, sehingga kamu tidak perlu bekerja seharipun dalam hidupmu. Setelah pengakuan ilahi, kasih sayang keluarga, ini yang ketiga. Anda tidak perlu berlibur, kerjamu adalah hobimu, melakukan hobi berarti berlibur. Tak juga penting berjalan-jalan, dengan kekuatan penetrasi, berkah Tuhan kepada otak manusia, benda ini mampu berimajinasi, membawamu menelusuri wadah makhluk hidup, alam semesta.

(4)Yang aku tahu, dan yang aku alami pelajaran SMA hanya membuatmu merasa pintar, dengan mampu lulus ujian, ujian dan ujian. Semua dimudahkan, aspek-aspek menantang dan menyenangkan dihilangkan demi test, test dan test. Aku sempat berpikir bahwa guru bimbel adalah pahlawan. Karena mereka telah berkorban, membuat dosa dengan menghalalkan segala pengabaian terhadap esensi sains itu, demi lulus, lulus, dan lulus. Hati-hati, aku tidak akan heran jika aku mendengar lagi keluhan dari mahasiswa tingkat awal yang tidak menyangka momentum anguler bisa dibuat sangat sulit.

(5)Satu-satunya kebebasan yang dimiliki manusia adalah kebebasan untuk memilih apa yang benar menurutnya. Aku bukanlah orang yang mempunyai bakat yang sangat istimewa didalam matematika dan fisika (prasyarat ilmuwan), tapi aku punya bentuk pseudo dari hal diatas , sifat . Jika pada suatu momen dalam hidupku dimana aku gagal dan tidak bisa kembali ke awal lagi, aku tidak akan menyesal. Aku lebih menyesal jika tak pernah memilih jalan hidup ini. Walau nanti aku bertemu kawan karibku bernama kegagalan, aku yakin bisa berkontribusi . Karena aku manusia yang hidup sepenuhnya. Kevin, sebagai masa transisi pengangguran dan mahasiswa.

–edited : 13/2/2016–

Densitas Kritis

Prasyarat penting, kecepatan galaksi sekitar berbanding linier dengan jarak nya dari kita, sesuai dengan persamaan Hubble v=H.d\large .H adalah konstanta Hubble yang nilainya 68 km/s/Megaparsec. Densitas/kerapatan kritis sendiri didefinisikan sebagai kerapatan dimana alam semesta dalam keadaan statis tidak mengalami ekspansi ataupun menyusut. Pada dasarnya ekspansi alam semesta dipengaruhi oleh relativitas umum dan banyaknya partikel (matter), baik itu dark matter atau dark energy. Dengan mengamsumsikan bahwa dark energy dan dark matter tidak ada (kutip: Brilliant.org), hal berikut benar. Keadaan dimana alam semesta lebih rapat dibanding densitas kritis akan menyebabkan alam semesta kolaps, sedangkan jika alam semesta lebih renggang dibandingkan densitas kritis maka alam semesta akan mengalami ekspansi tak terhingga. Mari kita rumuskan.
Kita tahu bahwa kecepatan lepas minimum yang dibutuhkan suatu benda untuk lepas sepenuhnya (bukan mengorbit) dari pengaruh gravitasi suatu benda bermassa adalah keadaan dimana E_{p}=E_{k} atau \frac{m.v^{2}}{2}=\frac{G.M.m}{d} , maka \frac{M}{d^{3}}=\frac{H^{2}}{2.G} . Kita anggap alam semesta berbentuk bola sehingga volumenya adalah \frac{4\pi d^3}{3} dengan d adalah jari-jari.
\frac{3M}{4 \pi d^{3}}=\frac{3 H^{2}}{8.\pi.G} , sisi kiri persamaan disebut sebagai densitas kritis (\rho_{c}) .
\rho_{c}=\frac{3 H^{2}}{8.\pi.G} \hspace{3 pt} \frac{kg}{m^{3}} . Terkadang densitas kritis ini diubah dalam bentuk banyaknya atom hidrogen [Ar=1.007] \hspace{3 pt} gr dalam satu meter kubik, sehingga persamaan diatas menjadi \rho_{c}=\frac{3000 H^{2}}{8.1,007.\pi .G}N_{a} \hspace{6pt}, N_{a}=6.02 x 10^{23} mol^{-1} .
Didapatlah \rho_{c}=5.2 atom hidrogen di setiap meter kubik.
Parameter dari densitas didefinisikan sebagai \Omega \equiv \frac{\rho}{\rho_{c}}=\frac{8.\pi.G.\rho}{3 H^{2}}.
\Omega >1 , alam semesta mengalami ekspansi, sehingga galaksi sekitar akan terus bergerak menuju tak terhingga
\Omega <1 , alam semesta kolaps.

Fungsi Phi dan Xi Euler

Definisikan fungsi euler sebagai berikut, untuk k,n \hspace{3 pt}\in\hspace{3 pt} \mathbb{Z}^{+}\hspace{3 pt}, \Phi (n)adalah banyaknya k \leq ndimana (k,n)=1, sebut k, \hspace{3 pt} n relatif prima. Untuk bilangan prima p \hspace{3 pt}, \Phi (p)=p-1, secara umum untuk a \geq 1 \hspace{3 pt}, \Phi (p^{a}) =p^{a}-p^{a-1}=p^{a-1}(p-1). Jika (a,b)=1, maka \Phi (ab)= \Phi (a). \Phi (b).Sesuai dengan teori fundamental aritmatika, setiap bilangan positif n, dapat dinyatakan sebagai produk unik dari satu atau lebih angka prima. Sebut n=p_{1}^{\alpha_{1}}.p_{2}^{\alpha_{2}}.p_{3}^{\alpha_{3}}...p_{s}^{\alpha_{s}}, maka \Phi (n) = \Phi (p_{1}^{\alpha_{1}}). \Phi (p_{2}^{\alpha_{2}}) ... \Phi (p_{s}^{\alpha_{s}})=p_{1}^{\alpha_{1}-1}(p_{1}-1).p_{2}^{\alpha_{2}-1}(p_{2}-1)...p_{s}^{\alpha_{s}-1}(p_{s}-1).
Mari kita definisikan \xi (n) sebagai fungsi penjumlahan dari semua bilangan \Phi (n) .
Untuk bilangan prima p \hspace{3 pt} , \Phi (p) =p-1 . Betul juga bahwa untuk bilangan positif \alpha \hspace{3 pt} , \Phi (p^{\alpha})=\Phi (p)^\alpha. Maka,  \xi (p)=1+2+3+....p-1= \frac{\Phi (p) p}{2} . Buat sebuah set \mathcal{A}, dengan semua komponennya a_{i} ( i \hspace{3 pt} \in \hspace{3 pt} \mathbb{Z}^{+}, _{max} i=s ) > 2 , maka saya mendapatkan bahwa \xi (\prod\limits_{i=1}^{s} (a_{i}))=2^{s-1}\prod\limits_{i=1}^{s}(\xi (a_{i})) .
Jadi \xi (p^{\alpha})=2^{\alpha -1 }\xi (p)^{\alpha}=2^{\alpha -1 }(\frac{\Phi (p) p}{2})^{\alpha}=\frac{\Phi (p^{\alpha}) p^{\alpha}}{2}=\frac{\Phi (p)^{\alpha} p^{\alpha}}{2} . Definisikan n=\prod\limits_{i=1}^{s} {p_{i}^{\alpha_{i}}} \hspace{5 pt}, ( i \hspace{3 pt} \in \hspace{3 pt} \mathbb{Z}^{+}, _{max} i=s ) .Maka \xi (n) =2^{s -1 }\prod\limits_{i=1}^{s}\xi (p_{i}^{\alpha_{i}})=2^{s -1 }\prod\limits_{i=1}^{s}\frac{\Phi (p_{i})^{\alpha_{i}} p_{i}^{\alpha_{i}}}{2}=2^{s -1 }\frac{\prod\limits_{i=1}^{s}\Phi (p_{i})^{\alpha_{i}} \prod\limits_{i=1}^{s}p_{i}^{\alpha_{i}}}{2}=\frac{\prod\limits_{i=1}^{s}\Phi (p_{i})^{\alpha_{i}}.n}{2}=\frac{\Phi(\prod\limits_{i=1}^{s} (p_{i}^{\alpha_{i}})).n}{2}=\frac{\Phi (n) n}{2}
Sebuah hasil yang simple dan elegan.

Jika kamu bergerak dengan kecepatan 25000 mil/jam ???

Apa yang terjadi ? Kamu tidak akan tertarik lagi ke bumi, padahal seharusnya sebuah benda itu dilempar sampai di tinggi maksimum sehingga kembali ke bumi. Perlu dicatat bahwa kecepatan 25000 mil /jam itu sudah net, maksudnya sudah dikurangi percepatan akibat gesekan udara. Kecepatan inilah yang disebut dengan escape velocity atau kecepatan lepas. Bagaimana cara menghitungnya ?

Ada beberapa pengertian mengenai kecepatan lepas ini , yang jelas makna besarnya sama !
1. Kecepatan lepas adalah kecepatan dimana energi kinetik benda ditambah dengan energi potensial = 0
2. Kecepatan lepas adalah kecepatan minimum yang diperlukan benda untuk terus terbang ke angkasa tanpa kembali lagi, dalam arti lain kecepatan minimum yang diperlukan untuk melepaskan diri dari medan gravitasi bumi.

Menurut pengertian satu Ek = Ep
sehingga
\frac{1}{2} mv^{2} = \frac{GMm}{r}
v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}

Saya sempat bingung karena sebelumnya yang tau hanyalah pengertian kedua, sehingga menjadi salah pengertian bahwa yang dibandingkan adalah EK dengan Medan gravitasi bumi, padahal dalam persamaan yang dipakai bukanlah \frac{GMm}{r^{2}} melainkan \frac{GMm}{r}.
Akhirnya saya mengetahui bahwa yang dibandingkan adalah EK dengan EP.
Dimana
Ep = mgh
Ep = \frac{mGMh}{r^{2}}
r dan h sebenarnya sama sehingga bisa dicoret
Ep = \frac{GMm}{r}

Mari kita perhatikan lagi persamaan kecepatan lepas kita tadi
 V = \sqrt{\frac{2GM}{r}}
Ternyata kecepatan lepas tidak ada hubungannya dengan massa benda, jadi sama seperti percepatan gravitasi yang tidak mempedulikan massa benda, kecepatan lepas juga begitu.
Jika dihitung maka didapatlah bahwa kecepatan lepas di bumi adalah
11100 m/s
40200 km/h
25000 mi/h

Ukur percepatan gravitasi ditempat mu !!

Trik sangat gampang dipraktekkan. Yang diperlukan cuma stopwatch (hp), sebuah benda apa saja, dan penggaris.
Mari kita mulai dengan persamaan.
Tau gerak jatuh bebas dimana  v_{0} = 0 ?
Jika tidak, tidak masalah.
Dalam gerak jatuh bebas  h = \frac {1}{2} gt^{2}
Jika dibalikkan maka didapatlah bahwa  g = \frac{2h}{t^{2}}

Seharusnya anda tidak perlu membaca lebih lanjut lagi, karena yang ingin saya katakan adalah, tentukan lah sebuah ketinggian dimana benda akan dijatuhkan. Anggap sebuah meja , ukur meja tersebut konversikan ke meter dengan ketidakpastian setengah dari ketelitian alat ukur. Kebetulan tangan kita ada dua, jadi tangan yang satu memegang benda siap untuk dijatuhkan, dan tangan yang satu lagi memegang stopwatch siap menekan start. Tekan start benda dijatuhkan, segera tekan stop. Walaupun saya jamin tidak akan benar-benar tepat, apalagi stopwatch hp biasanya cuma sampai 1 dibelakang koma untuk sekon. Pasti tidak akurat, tapi siapa peduli .. 😀 .
Yap tinggal masukkan ke persamaan kita tadi.